Упр.56 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 56. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$, значит, они делятся точкой пересечения пополам:

$$AO=CO.$$

Пусть отрезок $$EF$$ проходит через точку $$O$$, причём $$E\in BC$$, $$F\in AD$$. Так как $$BC \parallel AD$$, а прямая $$AC$$ является секущей, то

$$\angle OAF=\angle OCE.$$

Кроме того, углы

$$\angle AOF \text{ и } \angle COE$$

— вертикальные, поэтому

$$\angle AOF=\angle COE.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOF$$ и $$\triangle COE$$. В них:

$$AO=CO,$$

$$\angle OAF=\angle OCE,$$

$$\angle AOF=\angle COE.$$

Следовательно, $$\triangle AOF \cong \triangle COE$$ по второму признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие стороны равны:

$$OF=OE.$$

Значит, точка $$O$$ делит отрезок $$EF$$ пополам.

Ответ

$$OE=OF.$$