Упр.559 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Из точки к прямой проведены две наклонные длиной $$15\ \text{см}$$ и $$27\ \text{см}$$. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна $$24\ \text{см}$$. Найдите проекцию каждой наклонной.

Подробный ответ

Обозначим проекции наклонных на прямую через $$AD$$ и $$CD$$, где $$AD+CD=24$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$:

$$AB^2=BD^2+AD^2,$$
$$BC^2=BD^2+CD^2.$$

Так как $$AB=15$$, $$BC=27$$, то

$$15^2=BD^2+AD^2,$$
$$27^2=BD^2+CD^2.$$

Из условия $$AD+CD=24$$ получаем $$AD=24-CD$$. Подставим это в первое уравнение:

$$225=BD^2+(24-CD)^2,$$
$$225=BD^2+576-48CD+CD^2,$$
$$BD^2+CD^2=48CD-351.$$

Теперь используем второе уравнение:

$$729=BD^2+CD^2.$$

Тогда

$$729=48CD-351,$$
$$48CD=1080,$$
$$CD=22{,}5.$$