Упр.558 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как $$5:6$$, а проекции этих наклонных на прямую равны $$7\ \text{см}$$ и $$18\ \text{см}$$. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

Обозначим расстояние от точки до прямой через $$BD$$. Тогда получаются прямоугольные треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$, в которых:

$$AB:BC=5:6,$$ $$AD=7\text{ см},$$ $$CD=18\text{ см}.$$

Пусть $$AB=5x,$$ $$BC=6x.$$ Тогда по теореме Пифагора:

в треугольнике $$ABD$$

$$AB^2=BD^2+AD^2,$$

$$25x^2=BD^2+49;$$

в треугольнике $$CBD$$

$$BC^2=BD^2+CD^2,$$

$$36x^2=BD^2+324.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$36x^2-25x^2=324-49,$$

$$11x^2=275,$$

$$x^2=25,$$

$$x=5.$$

Теперь найдём $$BD$$:

$$BD^2=25x^2-49=25\cdot 25-49=576,$$

$$BD=\sqrt{576}=24.$$

Ответ

$$24\text{ см}$$