Упр.555 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 555. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть $$AB=BC$$ — боковые стороны равнобедренного треугольника, а $$AC$$ — основание. Тогда по условию

$$AB+BC+AC=90.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC$$, значит

$$2AB+AC=90,$$

откуда

$$AC=90-2AB.$$

Высота $$BH$$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой, поэтому

$$AH=\frac{AC}{2}.$$

Тогда

$$AH=\frac{90-2AB}{2}=45-AB.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Подставим известные значения:

$$AB^2=(45-AB)^2+15^2.$$

Раскроем скобки:

$$AB^2=2025-90AB+AB^2+225.$$

Сократим $$AB^2$$ в обеих частях:

$$0=2250-90AB,$$

$$90AB=2250,$$

$$AB=25.$$

Тогда

$$BC=AB=25,$$

$$AC=90-2\cdot 25=40.$$

Ответ

$$AB=25\text{ см},\ BC=25\text{ см},\ AC=40\text{ см}.$$