Упр.554 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 554. Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ и $$BC$$ — боковые стороны равнобедренного треугольника $$ABC$$, а $$AC$$ — основание. Тогда $$AB=BC$$, а высота $$BH$$, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, $$AH=\frac{1}{2}AC$$.

По условию $$AC=AB+2$$, поэтому

$$AH=\frac{1}{2}(AB+2)=\frac{1}{2}AB+1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Подставим известные значения:

$$AB^2=\left(\frac{1}{2}AB+1\right)^2+8^2.$$

Раскроем скобки:

$$AB^2=\frac{1}{4}AB^2+AB+1+64,$$

$$AB^2=\frac{1}{4}AB^2+AB+65.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{3}{4}AB^2-AB-65=0,$$

$$3AB^2-4AB-260=0.$$