Упр.553 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна $$8\text{ см}$$, а радиус окружности, описанной около него, — $$5\text{ см}$$. Найдите боковую сторону треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, $$H$$ — основание высоты $$CH$$.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота $$CH$$, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, точка $$H$$ — середина $$AB$$.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника. Тогда

$$AO=BO=CO=R=5\text{ см}.$$

В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на высоте $$CH$$, поэтому точки $$C$$, $$O$$, $$H$$ лежат на одной прямой. Так как $$CH=8$$ см, то

$$OH=CH-CO=8-5=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OBH$$:

$$OB^2=OH^2+BH^2,$$

$$5^2=3^2+BH^2,$$

$$25=9+BH^2,$$

$$BH^2=16,\quad BH=4\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$CHB$$:

$$BC^2=CH^2+BH^2,$$

$$BC^2=8^2+4^2=64+16=80,$$

$$BC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$