Упр.553 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 553. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Подробный ответ

Пусть $O$ — центр описанной окружности, $H$ — основание высоты $CH$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то высота $CH$, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, точка $H$ — середина $AB$.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника. Тогда

$$AO=BO=CO=R=5\text{ см}.$$

В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на высоте $CH$, поэтому точки $C$, $O$, $H$ лежат на одной прямой. Так как $CH=8$ см, то

$$OH=CH-CO=8-5=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $OBH$:

$$OB^2=OH^2+BH^2,$$

$$5^2=3^2+BH^2,$$

$$25=9+BH^2,$$

$$BH^2=16,\quad BH=4\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $CHB$:

$$BC^2=CH^2+BH^2,$$

$$BC^2=8^2+4^2=64+16=80,$$

$$BC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$