Упр.552 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 552. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный тупоугольный треугольник, $$AB$$ — основание, $$AB=24$$ см, а $$R=13$$ см — радиус описанной окружности.

Тогда для описанной окружности имеем:

$$OA=OB=OC=13.$$

Так как треугольник равнобедренный, то высота $$CH$$, проведённая к основанию $$AB$$, является также медианой. Значит,

$$BH=\frac{1}{2}AB=12.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$AOB$$. Отрезок $$OH$$, проведённый к основанию $$AB$$, является и медианой, и высотой, поэтому $$\angle OHB=90^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$OHB$$:

$$OB^2=OH^2+BH^2,$$

$$13^2=OH^2+12^2,$$

$$169=OH^2+144,$$

$$OH^2=25,\quad OH=5.$$

Теперь найдём высоту $$CH$$:

$$CH=OC-OH=13-5=8.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHB$$:

$$BC^2=CH^2+BH^2,$$

$$BC^2=8^2+12^2,$$

$$BC^2=64+144=208,$$

$$BC=\sqrt{208}=4\sqrt{13}.$$