Упр.55 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 55. Докажите, что вершины В и D параллелограмма АВCD равноудалены от прямой АС.

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CDF$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны и равны, значит $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$.

Прямая $$AC$$ — секущая к параллельным прямым $$AB$$ и $$CD$$, поэтому

$$\angle BAE=\angle DCF.$$

Кроме того, по условию

$$BE \perp AC,\quad DF \perp AC,$$

следовательно,

$$\angle AEB=\angle CFD=90^\circ.$$

Итак, в прямоугольных треугольниках $$ABE$$ и $$CDF$$ равны гипотенузы и один острый угол:

$$AB=CD,\quad \angle BAE=\angle DCF.$$

Значит, $$\triangle ABE \cong \triangle CDF$$.

Отсюда соответствующие катеты равны:

$$BE=DF.$$

Следовательно, вершины $$B$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ равноудалены от прямой $$AC$$.

Ответ

$$BE=DF$$.