Упр.546 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого равна $$h$$.

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник, $$BD$$ — его высота, $$BD=h$$.

В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AD^2+BD^2.$$

Подставим $$AD=\frac{1}{2}AB$$ и $$BD=h$$:

$$AB^2=\left(\frac{1}{2}AB\right)^2+h^2$$

$$AB^2=\frac{1}{4}AB^2+h^2$$

$$AB^2-\frac{1}{4}AB^2=h^2$$

$$\frac{3}{4}AB^2=h^2$$

$$AB^2=\frac{4}{3}h^2$$

$$AB=\sqrt{\frac{4}{3}h^2}=\frac{2h}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$\frac{2h}{\sqrt{3}}$$