Упр.541 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 541. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть $$D$$ — середина катета $$AC$$, так как $$BD$$ — медиана. Тогда

$$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCB$$. По теореме Пифагора:

$$BD^2=CD^2+BC^2,$$

$$5^2=3^2+BC^2,$$

$$25=9+BC^2,$$

$$BC^2=16,\quad BC=4\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. Тогда

$$AB^2=AC^2+BC^2,$$

$$AB^2=6^2+4^2,$$

$$AB^2=36+16=52,$$

$$AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$

Ответ

$$2\sqrt{13}\text{ см}$$