Упр.54 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Даны параллелограмм $$ABCD$$ и треугольник $$MKN$$. Могут ли одновременно выполняться равенства $$\angle A = \angle M$$, $$\angle B = \angle K$$, $$\angle C = \angle N$$?

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, значит

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Сумма всех углов параллелограмма равна $$360^\circ$$, поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

Подставим равенства противоположных углов:

$$\angle A+\angle B+\angle A+\angle B=360^\circ,$$

откуда

$$2\angle A+2\angle B=360^\circ,$$

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle M,$$ $$\angle B=\angle K,$$ $$\angle C=\angle N.$$ Так как $$\angle C=\angle A,$$ то $$\angle N=\angle A.$$

Тогда в треугольнике $$MKN$$ имеем

$$\angle M+\angle K+\angle N=180^\circ,$$

то есть

$$\angle A+\angle B+\angle N=180^\circ.$$

Но $$\angle A+\angle B=180^\circ,$$ значит

$$180^\circ+\angle N=180^\circ,$$

откуда

$$\angle N=0^\circ.$$

Такого треугольника не существует, следовательно, одновременно указанные равенства выполняться не могут.

Ответ: нет.