Упр.528 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 528. У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным.

Пусть из выбранной вершины вписанного в окружность многоугольника проведены все диагонали. Тогда многоугольник разбивается на несколько треугольников, и каждый из них имеет одну и ту же описанную окружность — данную окружность.

Рассмотрим любой из полученных треугольников. Если он остроугольный, то его центр описанной окружности лежит внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на его стороне, а если тупоугольный — вне треугольника.

Но центр описанной окружности у всех этих треугольников один и тот же, так как описанная окружность у них общая. Значит, этот центр может лежать внутри не более чем одного из полученных треугольников.

Следовательно, среди всех образовавшихся треугольников не более одного может быть остроугольным.

Ответ

Среди образовавшихся треугольников не более одного является остроугольным.