Упр.527 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 527. В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из её углов равен 74°.

Обозначим вершины трапеции по порядку: $$A B C D$$, причём $$A D \parallel B C$$. Диагональ $$A C$$ делит угол при большем основании пополам, значит

$$\angle B A C = \angle C A D.$$

Так как один из углов трапеции равен $$74^\circ$$, то угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle A = 74^\circ.$$

Тогда

$$\angle B A C = \angle C A D = \frac{74^\circ}{2}=37^\circ.$$

В трапеции суммы односторонних углов при боковой стороне равны $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle B = 180^\circ — 74^\circ = 106^\circ,$$

$$\angle C = 180^\circ — 106^\circ = 74^\circ.$$

Трапеция вписана в окружность, значит дуги, на которые делят окружность её вершины, равны удвоенным вписанным углам, опирающимся на них:

$$\overset{\frown}{AB}=2\angle A C B,$$

$$\overset{\frown}{BC}=2\angle B A C,$$

$$\overset{\frown}{CD}=2\angle C A D,$$

$$\overset{\frown}{AD}=2\angle A C D.$$

Из равенства углов трапеции при основании получаем, что соответствующие дуги равны:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=74^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{BC}=2\cdot 37^\circ=74^\circ.$$

Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$\overset{\frown}{AD}=360^\circ-74^\circ-74^\circ-74^\circ=138^\circ.$$

Ответ

$$74^\circ,\ 74^\circ,\ 74^\circ,\ 138^\circ.$$