Упр.526 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$AD$$ квадрата $$ABCD$$ отметили соответственно точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ и $$E$$ так, что четырёхугольник $$MNKE$$ является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника $$MNKE$$, если диагональ квадрата $$ABCD$$ равна $$7\ \text{см}$$.

В квадрате $$ABCD$$ диагонали равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. Обозначим точку их пересечения через $$I$$. Тогда

$$BD=2BI,$$

а диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, значит

$$\angle ACB=\angle DBC=45^\circ.$$

Рассмотрим прямую $$MN$$. По условию $$MN \parallel AC$$, поэтому при секущей $$BC$$ получаем

$$\angle BNM=\angle ACB=45^\circ.$$

В треугольнике $$MBN$$ угол при вершине $$B$$ прямой, так как $$AB \perp BC$$, а точка $$M$$ лежит на $$AB$$. Следовательно, $$\triangle MBN$$ — прямоугольный равнобедренный, и его биссектриса из вершины $$B$$ является также медианой. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с $$MN$$ через $$G$$. Тогда

$$BG=GM=GN.$$

Аналогично, так как $$NK \parallel BD$$, при секущей $$BC$$ имеем

$$\angle CNK=\angle DBC=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$NCK$$ угол при вершине $$C$$ прямой, значит $$\triangle NCK$$ тоже равнобедренный. Его биссектриса из вершины $$C$$ является медианой; обозначим точку пересечения этой биссектрисы с $$NK$$ через $$F$$. Тогда

$$FN=FK.$$

В параллелограмме $$GNFI$$ противоположные стороны равны, поэтому

$$GI=FN.$$

Теперь найдём стороны прямоугольника $$MNKE$$:

$$MN=GM+GN=2BG,$$

$$NK=FN+FK=2GI.$$

Тогда периметр прямоугольника

$$P_{MNKE}=2(MN+NK)=2(2BG+2GI)=4(BG+GI).$$

Так как точки $$B, G, I$$ лежат на диагонали $$BD$$ и $$BG+GI=BI,$$ то

$$P_{MNKE}=4BI=2BD.$$

При $$BD=7$$ см получаем

$$P_{MNKE}=2\cdot 7=14\text{ см}.$$

Ответ

$$14\text{ см}$$