Упр.524 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Постройте отрезок длиной $$x$$, если $$x=\sqrt{\frac{ab}{2}}$$, где $$a$$ и $$b$$ — длины данных отрезков.

Построим отрезок $$MN$$, равный отрезку $$CD/2$$.

На луче $$MN$$ отложим отрезок $$HN=AB$$.

Отметим точку $$O$$ — середину отрезка $$MN$$.

Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$OM$$.

В точке $$H$$ построим перпендикуляр к прямой $$MN$$ и отметим точку $$G$$ на пересечении этого перпендикуляра с окружностью.

Тогда $$OH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{CD}{4}$$, а по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OHG$$:

$$HG^2=OG^2-OH^2=OM^2-OH^2$$

Так как $$OM=\dfrac{MN}{2}$$ и $$HN=AB$$, то получаем

$$HG^2=HN\cdot HM=AB\cdot \frac{CD}{2}$$

Следовательно,

$$HG=\sqrt{\frac{ab}{2}}$$

Искомый отрезок равен $$HG$$.

Ответ

$$\sqrt{\frac{ab}{2}}$$