Упр.523 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной $$3\ \text{см}$$ и $$27\ \text{см}$$. Найдите высоту трапеции.
Пусть окружность касается боковой стороны трапеции в точке $$H$$, а оснований — в точках $$E$$ и $$F$$. Тогда радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, значит $$OE \perp BC$$, $$OF \perp AD$$, а отрезок $$EF$$ проходит через центр окружности и является высотой трапеции.
Так как трапеция равнобокая и в неё вписана окружность, то её углы при одном боковом ребре дополняют друг друга до $$180^\circ$$, а отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Поэтому для точки $$B$$ имеем:
$$BH=BE=3\text{ см}, \qquad AH=AF=27\text{ см}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из центра окружности к боковой стороне. Для равнобокой трапеции центр вписанной окружности лежит на оси симметрии, а высота к боковой стороне делит её на отрезки $$AH$$ и $$BH$$. Тогда
$$OH^2=AH\cdot BH.$$
Подставим значения:
$$OH^2=27\cdot 3=81,$$
$$OH=9\text{ см}.$$
Высота трапеции равна сумме двух радиусов, опущенных к параллельным основаниям:
$$EF=2OH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$
Ответ
$$18\text{ см}$$
