Упр.523 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 523. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции.

Подробный ответ

Пусть окружность касается боковой стороны трапеции в точке $H$, а оснований — в точках $E$ и $F$. Тогда радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, значит $OE \perp BC$, $OF \perp AD$, а отрезок $EF$ проходит через центр окружности и является высотой трапеции.

Так как трапеция равнобокая и в неё вписана окружность, то её углы при одном боковом ребре дополняют друг друга до $180^\circ$, а отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Поэтому для точки $B$ имеем:

$$BH=BE=3\text{ см}, \qquad AH=AF=27\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой из центра окружности к боковой стороне. Для равнобокой трапеции центр вписанной окружности лежит на оси симметрии, а высота к боковой стороне делит её на отрезки $AH$ и $BH$. Тогда

$$OH^2=AH\cdot BH.$$

Подставим значения:

$$OH^2=27\cdot 3=81,$$

$$OH=9\text{ см}.$$

Высота трапеции равна сумме двух радиусов, опущенных к параллельным основаниям:

$$EF=2OH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$