Упр.522 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 522. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Подробный ответ

Пусть окружность касается боковых сторон трапеции в точках $$E$$ и $$F$$, а основания — в точках $$G$$ и $$H$$. Тогда от одной точки к окружности проведены равные касательные:

$$CF=CE=8,\qquad DE=DH=50.$$

Обозначим радиус вписанной окружности через $$R$$. Так как трапеция прямоугольная, то $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, а значит, высота трапеции равна диаметру окружности:

$$AB=2R.$$

Рассмотрим треугольник $$COD$$, где $$O$$ — центр окружности. Поскольку $$CO$$ и $$DO$$ — биссектрисы углов при вершинах $$C$$ и $$D$$, то

$$\angle OCD=\frac12\angle C,\qquad \angle ODC=\frac12\angle D.$$

В трапеции $$\angle C+\angle D=180^\circ$$, следовательно,

$$\angle OCD+\angle ODC=90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$COD$$

$$\angle COD=90^\circ,$$

то есть $$OE$$ — высота к гипотенузе $$CD$$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

$$OE^2=CE\cdot DE.$$

Подставим значения:

$$ OE^2=8\cdot 50=400,\\ OE=\sqrt{400}=20. $$

Значит, $$R=20$$, и тогда