Упр.521 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна $$25\ \text{см}^2$$.

Подробный ответ

Обозначим основания равнобокой трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а высоту — через $$BE$$.

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Опустим высоту $$BE$$ на основание $$AD$$. Тогда в равнобокой трапеции

$$AE=\frac{1}{2}(AD-BC), \qquad DE=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

По условию диагональ перпендикулярна боковой стороне, значит в прямоугольном треугольнике $$ABD$$ угол $$\angle B=90^\circ$$, и для высоты к гипотенузе выполняется:

$$BE^2=AE\cdot DE.$$

Подставим найденные выражения:

$$BE^2=\frac{1}{2}(AD-BC)\cdot \frac{1}{2}(AD+BC) =\frac{1}{4}(AD^2-BC^2).$$

По условию $$AD^2-BC^2=25$$, значит

$$BE^2=\frac{25}{4}, \qquad BE=\frac{5}{2}=2{,}5.$$