Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 520. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Подробный ответ

Проведём высоту $$BE \perp AD$$.

В равнобокой трапеции $$ABCD$$ боковые стороны равны, значит $$AB=CD$$. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований, то есть средняя линия $$MN$$, равен половине суммы оснований:

$$MN=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Так как трапеция описана около окружности радиуса $$10$$ см, а диагональ $$BD$$ перпендикулярна боковой стороне $$AB$$, то $$\angle ABD=90^\circ$$. Следовательно, в треугольнике $$ABD$$ сторона $$AD$$ является диаметром окружности, описанной около этого треугольника.

Тогда

$$AD=2R=2\cdot 10=20\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Высота $$BE$$, опущенная из прямого угла на гипотенузу $$AD$$, делит её на отрезки $$AE$$ и $$ED$$, причём

$$AB^2=AE\cdot AD.$$

Подставим известные значения:

$$12^2=AE\cdot 20,$$

$$AE=\frac{144}{20}=7{,}2\text{ см}.$$

Тогда

$$ED=AD-AE=20-7{,}2=12{,}8\text{ см}.$$

В равнобокой трапеции средняя линия равна отрезку между основанием и проекцией вершины, поэтому

$$MN=ED=12{,}8\text{ см}.$$