Упр.52 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 52. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$, где $$BK$$ — высота параллелограмма. Тогда

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

Так как $$\angle A=45^\circ$$, то

$$45^\circ+\angle B=90^\circ,$$

откуда

$$\angle B=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABK$$ — равнобедренный, значит

$$AK=BK=3\text{ см}.$$

По условию $$AK=KD$$, поэтому

$$AD=AK+KD=2AK=6\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$BK$$ — высота к стороне $$AD$$ и одновременно медиана, то $$\triangle ABD$$ равнобедренный, следовательно

$$\angle ADB=\angle ABD?$$

Но в равнобедренном треугольнике с основанием $$BD$$ равны углы при основании, то есть

$$\angle ABD=\angle ADB.$$

При этом

$$\angle A+\angle ABD+\angle ADB=180^\circ,$$

$$45^\circ+\angle ABD+\angle ADB=180^\circ,$$

$$45^\circ+2\angle ABD=180^\circ,$$

$$\angle ABD=\angle ADB=67{,}5^\circ.$$

Диагональ, соединяющая вершины тупых углов, образует со сторонами параллелограмма углы $$45^\circ$$ и $$90^\circ$$.

Итак, сторона параллелограмма равна $$6\text{ см}$$, а искомые углы равны $$90^\circ$$ и $$45^\circ$$.

Ответ

$$6\text{ см};\ 90^\circ;\ 45^\circ.$$