Упр.519 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна $$20\ \text{см}$$, а проекция диагонали на большее основание — $$16\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности. Так как центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на большем основании, то $$O$$ принадлежит основанию $$AD$$.

Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$CH \perp AD$$, а точка $$H$$ — основание высоты.

Рассмотрим окружность, описанную около трапеции. Тогда $$AO=DO=R$$, где $$R$$ — радиус окружности. Следовательно,

$$AD=AO+DO=2R.$$

Так как точки $$A, C, D, O$$ лежат на одной окружности, то $$AC$$ — диаметр этой окружности, а значит, $$\angle ADC=90^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$ высота $$CH$$ опущена на гипотенузу $$AD$$, поэтому по свойству проекций:

$$AC^2=AH\cdot AD.$$

Подставим данные:

$$20^2=16\cdot AD,$$

$$400=16\cdot AD,$$

$$AD=25.$$

Тогда

$$2R=25,$$