Упр.518 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны $$7\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Проведём высоту $$BE \perp AD$$.

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Тогда проекции боковых сторон на основание равны, значит

$$AE=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(25-7)=9.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. По условию $$BD \perp AB$$, значит угол между ними прямой, а $$BE$$ — высота к основанию $$AD$$. Тогда

$$AB^2=AD\cdot AE.$$

Подставим значения:

$$AB^2=25\cdot 9=225,$$

$$AB=\sqrt{225}=15.$$

Теперь найдём периметр трапеции:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$

Так как $$AB=CD=15$$, $$BC=7$$, $$AD=25$$, получаем

$$P_{ABCD}=15+7+15+25=62.$$

Ответ

$$62\text{ см}$$