Упр.516 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен $$2\ \text{см}$$ и делит её на отрезки, относящиеся как $$1:4$$. Найдите диагонали ромба.
Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$O$$ на сторону $$AB$$.
В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит
$$AC=2AO,\qquad BD=2BO,\qquad AC\perp BD.$$
По условию $$OH=2$$ см и $$BH:AH=1:4$$, поэтому
$$AH=4BH.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$:
$$OH^2=AH\cdot BH.$$
Тогда
$$2^2=4BH\cdot BH,$$
$$BH^2=1,\qquad BH=1\text{ см}.$$
Следовательно,
$$AH=4\text{ см},\qquad AB=AH+BH=5\text{ см}.$$
Теперь найдём диагонали.
В прямоугольном треугольнике $$ABO$$:
$$BO^2=AB\cdot BH=5\cdot 1=5,$$
откуда
$$BO=\sqrt5.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$AO^2=AB\cdot AH=5\cdot 4=20,$$
значит
$$AO=2\sqrt5.$$
Тогда
$$AC=2AO=4\sqrt5\text{ см},\qquad BD=2BO=2\sqrt5\text{ см}.$$
Ответ
$$AC=4\sqrt5\text{ см},\quad BD=2\sqrt5\text{ см}.$$
