Упр.515 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 515. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.
Обозначим меньший катет через $$AC$$, больший катет — через $$BC$$, гипотенузу — через $$AB$$. Пусть $$D$$ — основание высоты $$CD$$, проведённой к гипотенузе.
По условию:
$$AB=BC+10,$$
$$BC=BD+8.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACB$$ верно свойство: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Поэтому
$$BC^2=AB\cdot BD.$$
Подставим выражения через $$BC$$:
$$BC^2=(BC+10)(BC-8).$$
Раскроем скобки:
$$BC^2=BC^2-8BC+10BC-80,$$
$$2BC=80,$$
$$BC=40.$$
Тогда
$$AB=40+10=50,$$
$$BD=40-8=32.$$
Найдём проекцию $$AD$$:
$$AD=AB-BD=50-32=18.$$
Теперь найдём меньший катет:
$$AC^2=AB\cdot AD,$$
$$AC^2=50\cdot 18=900,$$
$$AC=\sqrt{900}=30.$$
Найдём высоту $$CD$$:
$$CD^2=AD\cdot BD,$$
$$CD^2=18\cdot 32=576,$$
$$CD=\sqrt{576}=24.$$
Ответ
$$AC=30\text{ см},\quad CD=24\text{ см}.$$