Упр.51 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 51. Высота ВК параллелограмма АВCD делит его сторону AD на отрезки АК и KD такие, что АК = 4 см, KD = 6 см. Найдите углы и периметр параллелограмма, если угол АВК = 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$. Так как $$BK$$ — высота параллелограмма, то $$BK \perp AD$$, значит $$\angle AKB = 90^\circ$$.
По условию $$\angle ABK = 30^\circ$$, поэтому в треугольнике $$ABK$$
$$\angle BAK = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ.$$
Но луч $$AK$$ лежит на прямой $$AD$$, следовательно, $$\angle A = 60^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы. Значит,
$$AK=\frac{1}{2}AB,$$
откуда
$$AB=2\cdot AK=2\cdot 4=8\text{ см}.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому
$$CD=AB=8\text{ см}, \qquad BC=AD.$$
Так как $$AD=AK+KD=4+6=10\text{ см},$$ то
$$BC=10\text{ см}.$$
Тогда периметр параллелограмма равен
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=8+10+8+10=36\text{ см}.$$
Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. Поэтому
$$\angle C=\angle A=60^\circ,$$
$$\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ,$$
$$\angle D=\angle B=120^\circ.$$
Ответ
$$\angle A=\angle C=60^\circ,\ \angle B=\angle D=120^\circ,\ P_{ABCD}=36\text{ см}.$$