Упр.508 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 508. В трапеции ABCD известно, что угол В = 90°, угол С = 150°, ВС = 5 см. Найдите сторону CD, если высота трапеции, проведённая из вершины С, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

Так как высота, проведённая из вершины $$C$$, разбивает трапецию на треугольник и квадрат, то четырёхугольник $$ABCH$$ — квадрат. Значит, его стороны равны:

$$CH=BC=5\text{ см}.$$

В трапеции сумма углов равна $$360^\circ$$, поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

Подставим известные значения:

$$90^\circ+90^\circ+150^\circ+\angle D=360^\circ,$$

откуда

$$\angle D=360^\circ-330^\circ=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$. В нём $$\angle CHD=90^\circ$$, а $$\angle CDH=30^\circ$$, значит, это треугольник $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$. В таком треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, вдвое меньше гипотенузы. Следовательно,

$$CD=2\cdot CH=2\cdot 5=10\text{ см}.$$

Ответ

$$10\text{ см}$$