Упр.507 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На диагонали $$BD$$ квадрата $$ABCD$$ отметили точку $$E$$ так, что $$DE = AD$$. Через точку $$E$$ проведена прямая, которая перпендикулярна прямой $$BD$$ и пересекает сторону $$AB$$ в точке $$F$$. Докажите, что $$AF = FE = BE$$.

1) В квадрате $$ABCD$$ все углы прямые, значит $$\angle A=\angle B=90^\circ$$. Диагональ квадрата $$BD$$ является биссектрисой угла $$B$$, поэтому

$$\angle FBE=\frac{1}{2}\angle B=45^\circ.$$

Так как по условию $$FE\perp BD$$, а точка $$E$$ лежит на диагонали $$BD$$, то $$BE\subset BD$$ и, следовательно, $$\angle FEB=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

В треугольнике $$BEF$$ получаем $$\angle FBE=\angle FEB$$, значит, $$\triangle BEF$$ равнобедренный, и потому

$$BE=FE.$$

2) Рассмотрим треугольники $$FAD$$ и $$FED$$.

У них:

$$FD$$ — общая сторона,

$$\angle FAD=90^\circ$$, так как $$ABCD$$ — квадрат,

$$\angle FED=90^\circ$$, так как $$FE\perp BD$$ и $$ED\subset BD$$,

$$AD=DE$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle FAD \cong \triangle FED$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AF=FE.$$

Из равенства $$BE=FE$$ и $$AF=FE$$ получаем

$$AF=FE=BE.$$

Ответ

$$AF=FE=BE.$$