Упр.506 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46\ \text{см}$$, угол $$BAD$$ равен углу $$ADB$$. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника $$BCD$$ равен $$32\ \text{см}$$.

Подробный ответ

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$

Тогда

$$AB+BC+AB+BC=46,$$

$$2AB+2BC=46,$$

$$AB+BC=23.$$

По условию $$\angle BAD=\angle ADB$$, значит в треугольнике $$ABD$$ равны углы при вершинах $$A$$ и $$D$$. Следовательно, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и

$$BD=AB.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCD$$. Его периметр равен

$$P_{BCD}=BC+CD+BD.$$

Так как $$CD=AB$$ и $$BD=AB$$, получаем

$$BC+AB+AB=32,$$

$$BC+2AB=32.$$

Из системы

$$\begin{cases} AB+BC=23,\\ 2AB+BC=32 \end{cases}$$

вычтем первое уравнение из второго:

$$AB=9.$$

Тогда

$$BC=23-9=14.$$