Упр.505 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 505. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку М и через неё провели хорды АВ и CD (рис. 166). Докажите, что угол DAB = углу BCD.

Обозначим через $$M$$ точку пересечения общей хорды $$EF$$ с хордами $$AB$$ и $$CD$$.

Для окружности, проходящей через точки $$A, B, E, F$$, по теореме о пересекающихся хордах получаем:

$$AM \cdot BM = EM \cdot MF.$$

Для окружности, проходящей через точки $$C, D, E, F$$, аналогично:

$$CM \cdot DM = EM \cdot MF.$$

Следовательно,

$$AM \cdot BM = CM \cdot DM.$$

Отсюда

$$\frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}.$$

Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$CMB$$. У них

$$\angle AMD=\angle CMB$$ — вертикальные углы,

и стороны, заключающие эти углы, пропорциональны:

$$\frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}.$$

Значит, $$\triangle AMD \sim \triangle CMB$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов:

$$\angle DAM=\angle BCD.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$D, M, C$$ — на одной прямой, то

$$\angle DAB=\angle DAM,$$

$$\angle BCD=\angle BCM.$$

Следовательно,

$$\angle DAB=\angle BCD.$$

Ответ

$$\angle DAB=\angle BCD.$$