Упр.504 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 504. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Известно, что АМ • МВ = CM • MD. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$DMB$$.

Из условия $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, значит

$$\frac{AM}{DM}=\frac{CM}{BM}.$$

Кроме того, $$\angle AMC=\angle DMB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AMC \sim \triangle DMB$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle CAM=\angle BDM.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, M, D$$ — на одной прямой, то

$$\angle CAB=\angle CAM,\qquad \angle BDC=\angle BDM.$$

Значит,

$$\angle CAB=\angle BDC.$$

Равенство вписанных углов $$\angle CAB$$ и $$\angle BDC$$, опирающихся на одну и ту же хорду $$CB$$, означает, что точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности.

Ответ

Точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности.