Упр.503 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 503. На медиане ВМ треугольника АВС отметили точку К так, что угол MKC = углу BCM. Докажите, что угол AKM = углу BAM.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$BMC$$ и $$CMK$$.

Так как $$BM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$M$$ лежит на отрезке $$AC$$ и $$AM=MC$$.

По условию $$\angle MKC=\angle BCM$$. Кроме того, так как точки $$B, M, K$$ лежат на одной прямой, а точки $$A, M, C$$ — на одной прямой, то $$\angle BMC=\angle CMK$$.

Следовательно, $$\triangle BMC \sim \triangle CMK$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{CM}{MK}=\frac{BM}{CM}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BMA$$ и $$AMK$$.

Так как $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle BMA=\angle CMK$$. А из подобия треугольников $$BMC$$ и $$CMK$$ получаем

$$\frac{BM}{CM}=\frac{CM}{MK}.$$

С учётом $$AM=CM$$ имеем

$$\frac{BM}{AM}=\frac{AM}{MK}.$$

Кроме того, $$\angle BMA=\angle AMK$$, так как это углы с соответственно параллельными сторонами, лежащими на одной прямой $$BM$$.

Следовательно, $$\triangle BMA \sim \triangle AMK$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle AKM=\angle BAM.$$

Что и требовалось доказать.