Упр.502 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 502. Из точки А проведены два луча АМ и AN. На луче АМ отмечены точки H и В, а на луче AN — точки С и D так, что AH • AB = AC • AD. Докажите, что точки Н, В, С и D лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ACH$$ и $$\triangle ABD$$.

Из условия имеем:

$$\frac{AH}{AD}=\frac{AC}{AB}.$$

Кроме того, $$\angle CAH=\angle BAD$$, так как это один и тот же угол между лучами $$AN$$ и $$AM$$.

Следовательно, $$\triangle ACH \sim \triangle ABD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle ACH=\angle ABD.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BDCH$$. Так как точки $$A, C, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle DCH=180^\circ-\angle ACH.$$

Подставляя найденное равенство, получаем:

$$\angle DCH=180^\circ-\angle ABD.$$

А так как точки $$A, B, H$$ лежат на одной прямой, то $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$ являются смежными с углами при вершине $$B$$, поэтому

$$\angle DCH+\angle DBH=180^\circ.$$

Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника $$BDCH$$ равна $$180^\circ$$, следовательно, этот четырёхугольник вписанный.

Итак, точки $$H, B, C, D$$ лежат на одной окружности.

Ответ

Точки $$H, B, C, D$$ лежат на одной окружности.