Упр.500 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 500. В треугольнике АВС известно, что АС = а, АВ = ВС = b, АМ и СК — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК.

Так как $$AB=BC=b,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, следовательно, $$\angle A=\angle C.$$

Рассмотрим биссектрису $$AM.$$ По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AB}{BM}=\frac{AC}{CM}.$$

Подставим данные:

$$\frac{b}{BM}=\frac{a}{CM},$$

откуда

$$CM=\frac{a}{b}\cdot BM.$$

Так как $$BC=BM+CM,$$ то

$$b=BM+\frac{a}{b}\cdot BM,$$

$$b=\left(1+\frac{a}{b}\right)BM,$$

$$BM=\frac{b^2}{a+b}.$$

Теперь рассмотрим биссектрису $$CK.$$ По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AC}{AK}=\frac{BC}{BK},$$

то есть

$$\frac{a}{AK}=\frac{b}{BK},$$

откуда

$$AK=\frac{a}{b}\cdot BK.$$

Так как $$AB=AK+BK,$$ получаем

$$b=\frac{a}{b}\cdot BK+BK,$$

$$b=\left(\frac{a}{b}+1\right)BK,$$

$$BK=\frac{b^2}{a+b}.$$

Рассмотрим треугольники $$KBM$$ и $$ABC.$$ Имеем:

$$\frac{BK}{AB}=\frac{BM}{BC}=\frac{b}{a+b},$$

а также $$\angle KBM=\angle ABC$$, значит, $$\triangle KBM \sim \triangle ABC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия:

$$\frac{MK}{AC}=\frac{BK}{AB}=\frac{b}{a+b}.$$

Тогда

$$MK=AC\cdot \frac{b}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.$$

Ответ

$$\frac{ab}{a+b}$$