Упр.499 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 499. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых — второй. Будут ли эти треугольники подобны?

Подробный ответ

Пусть даны три подобных разносторонних треугольника. Обозначим их стороны так, что для каждого треугольника большая сторона соответствует синей палочке, а меньшая — жёлтой.

Так как треугольники подобны, то отношения соответствующих сторон у них одинаковы. Значит, отношение большей стороны к меньшей у всех трёх треугольников одно и то же.

Составим из синих палочек треугольник $$MNK$$, а из жёлтых — треугольник $$DEF$$. Тогда

$$MN=A_1B_1,\quad NK=A_2B_2,\quad MK=A_3B_3,$$

$$DE=A_1C_1,\quad EF=A_2C_2,\quad DF=A_3C_3.$$

Из подобия исходных треугольников получаем:

$$\frac{A_1B_1}{A_1C_1}=\frac{A_2B_2}{A_2C_2}=\frac{A_3B_3}{A_3C_3}.$$

Следовательно,

$$\frac{MN}{DE}=\frac{NK}{EF}=\frac{MK}{DF}.$$

Значит, у треугольников $$MNK$$ и $$DEF$$ все три стороны пропорциональны, поэтому они подобны по третьему признаку подобия треугольников.