Упр.498 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На сторонах $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отметили соответственно точки $$D$$ и $$E$$ так, что $$AD:DB=AE:EC=3:5$$. Найдите отрезок $$DE$$, если $$BC=16\text{ см}$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle ABC$$.

Так как $$AD:DB=3:5$$, то

$$AB=AD+DB=3x+5x=8x,$$

следовательно,

$$\frac{AD}{AB}=\frac{3x}{8x}=\frac{3}{8}.$$

Аналогично, из $$AE:EC=3:5$$ получаем

$$AC=AE+EC=3y+5y=8y,$$

поэтому

$$\frac{AE}{AC}=\frac{3y}{8y}=\frac{3}{8}.$$

Угол $$\angle DAE$$ равен углу $$\angle BAC$$, так как лучи $$AD$$ и $$AB$$ лежат на одной прямой, а лучи $$AE$$ и $$AC$$ — на одной прямой.

Значит, $$\triangle ADE \sim \triangle ABC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Тогда

$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{8}.$$

Подставим $$BC=16$$ см:

$$DE=\frac{3}{8}\cdot 16=6.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$