Упр.491 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В треугольнике ABC известно, что $$AB=21\text{ см},\quad AC=42\text{ см},\quad BC=28\text{ см}$$ (рис. 164). На продолжениях отрезков $$AB$$ и $$BC$$ за точку $$B$$ отложены соответственно отрезки $$BM$$ и $$BK$$, $$BM=8\text{ см},\quad BK=6\text{ см}$$. Найдите отрезок $$KM$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$KBM$$.

Так как точки $$A, B, M$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, B, K$$ — на одной прямой, то углы $$\angle ABC$$ и $$\angle KBM$$ — вертикальные, значит, они равны.

Кроме того,

$$\frac{AB}{BK}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}, \qquad \frac{BC}{BM}=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}.$$

Следовательно, две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а угол между ними равен. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle KBM$$ по второму признаку подобия.

Из подобия получаем:

$$\frac{AC}{KM}=\frac{AB}{BK}=\frac{7}{2}.$$

Тогда

$$KM=\frac{2}{7}\cdot AC=\frac{2}{7}\cdot 42=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$