Упр.490 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 490. На сторонах АВ и АС треугольника АВС (рис. 163) отметили соответственно точки D и Е так, что AD = (4/7)АС, АЕ = (4/7)АВ. Найдите отрезок DE, если ВС = 21 см.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$.

Так как точки $$D$$ и $$E$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$ и $$AC$$, то угол между лучами $$AB$$ и $$AC$$ равен углу между лучами $$AD$$ и $$AE$$:

$$\angle BAC=\angle DAE.$$

Из условий получаем:

$$AD=\frac{4}{7}AC \;\Rightarrow\; \frac{AC}{AD}=\frac{7}{4},$$

$$AE=\frac{4}{7}AB \;\Rightarrow\; \frac{AB}{AE}=\frac{7}{4}.$$

Следовательно,

$$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD},$$

а значит, $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников:

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AE}=\frac{7}{4}.$$

Тогда

$$DE=\frac{4}{7}\cdot BC=\frac{4}{7}\cdot 21=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$