Упр.487 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 487. Один из углов прямоугольной трапеции равен 135°, средняя линия — 21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, причём $$AD:BC=5:2$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Пусть $$BC=2x$$, тогда $$AD=5x$$. По условию $$EF=21$$, следовательно

$$21=\frac{1}{2}(5x+2x)=\frac{7x}{2}.$$

Отсюда

$$7x=42,\quad x=6.$$

Тогда

$$BC=2x=12,\qquad AD=5x=30.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$, где $$BH$$ — высота трапеции. Так как $$\angle C=\angle D=90^\circ$$, то $$BH\perp AD$$ и $$\angle CBH=90^\circ$$. Угол при вершине $$B$$ равен $$135^\circ$$, значит

$$\angle ABH=\angle ABC-\angle CBH=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ABH$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому

$$AH=BH.$$

В прямоугольнике $$BCHD$$ имеем

$$DH=BC=12,$$

а также $$CD=BH$$. Тогда из разложения основания $$AD$$ получаем

$$AD=AH+DH.$$

Так как $$AH=BH=CD$$, то

$$30=CD+12,$$

откуда

$$CD=18.$$

Меньшая боковая сторона трапеции равна $$18$$ см.

Ответ

$$18\text{ см}$$