Упр.486 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 486. Две окружности с центрами O1 и O2, радиусы которых равны, пересекаются в точках А и В. Отрезок (O1 O2) пересекает данные окружности в точках С и D. Докажите, что четырёхугольник ACBD — ромб.

Рассмотрим окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как их радиусы равны, то

$$O_1A=O_1B=O_2A=O_2B.$$

Следовательно, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ равноудалены от точек $$A$$ и $$B$$, значит прямая $$O_1O_2$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$. Поэтому

$$O_1O_2 \perp AB.$$

Пусть $$C$$ и $$D$$ — точки пересечения прямой $$O_1O_2$$ с первой и второй окружностями соответственно. Тогда точки $$C, E, D$$ лежат на одной прямой, где $$E$$ — точка пересечения $$AB$$ и $$O_1O_2$$.

Рассмотрим треугольник $$CAD$$. Прямая $$AE$$ является биссектрисой угла $$CAD$$ и одновременно высотой, так как $$AE \perp CD$$. Значит, треугольник $$CAD$$ равнобедренный, и

$$AC=AD.$$

Аналогично, в треугольнике $$CBD$$ прямая $$BE$$ является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник $$CBD$$ равнобедренный, и

$$BC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCA$$. Точка $$E$$ — середина отрезка $$AB$$, а $$CE \perp AB$$, значит $$CE$$ является серединным перпендикуляром к $$AB$$. Тогда

$$CA=CB.$$

Из равенств $$AC=CB$$, $$AC=AD$$ и $$BC=BD$$ получаем

$$AC=CB=BD=DA.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника $$ACBD$$ равны, значит $$ACBD$$ — ромб.

Ответ

$$ACBD$$ — ромб.