Упр.485 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 485. Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведёнными из одной вершины, равен: 1) 20°; 2) 130°.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, а смежные в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ.$$

Так как $$BE$$ и $$BF$$ — высоты, то

$$\angle E=\angle F=90^\circ.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$EBFD$$. Сумма его углов равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle E+\angle EBF+\angle F+\angle D=360^\circ.$$

Подставим известные значения:

$$90^\circ+\angle EBF+90^\circ+\angle D=360^\circ,$$

откуда

$$\angle D=180^\circ-\angle EBF.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\angle D=\angle EBF.$$

1) Если $$\angle EBF=20^\circ$$, то

$$\angle C=20^\circ,\qquad \angle D=160^\circ,$$

следовательно,

$$\angle A=20^\circ,\qquad \angle B=160^\circ.$$

2) Если $$\angle EBF=130^\circ$$, то

$$\angle C=130^\circ,\qquad \angle D=50^\circ,$$

следовательно,

$$\angle A=130^\circ,\qquad \angle B=50^\circ.$$

Ответ

1) $$20^\circ,\ 160^\circ,\ 20^\circ,\ 160^\circ$$; 2) $$130^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 50^\circ$$.