Упр.484 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 484. В треугольнике АВС известно, что ВС = 72 см, AD — высота, AD = 24 см. В данный треугольник вписан прямоугольник MNKP так, что вершины М и Р принадлежат стороне ВС, а вершины N и К — сторонам АВ и АС соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если MP : MN = 9:5.

Обозначим $$MN=x$$. Тогда по условию $$MP:MN=9:5$$, значит

$$MP=\frac{9}{5}x.$$

Так как $$MNKP$$ — прямоугольник, то $$NK\parallel MP$$ и $$NK=MP$$, следовательно

$$NK=\frac{9}{5}x.$$

Рассмотрим треугольники $$ANK$$ и $$ABC$$. У них

$$\angle ANK=\angle ABC,$$

$$\angle AKN=\angle ACB,$$

значит, $$\triangle ANK\sim \triangle ABC$$.

Отсюда

$$\frac{NK}{BC}=\frac{AN}{AB}.$$

Так как $$BC=72$$, то

$$\frac{9x/5}{72}=\frac{AN}{AB},$$

или

$$AB=\frac{40\cdot AN}{x}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$NBM$$. У них

$$\angle ABD=\angle NBM,$$

$$\angle ADB=\angle NMB=90^\circ,$$

значит, $$\triangle ABD\sim \triangle NBM$$.

Тогда

$$\frac{NM}{AD}=\frac{NB}{AB}.$$

Поскольку $$AD=24$$, а $$NB=AB-AN$$, получаем

$$\frac{x}{24}=\frac{AB-AN}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{24(AB-AN)}{x}.$$

Приравняем два выражения для $$AB$$:

$$\frac{40\cdot AN}{x}=\frac{24(AB-AN)}{x}.$$

Умножим на $$x$$:

$$40AN=24AB-24AN,$$

$$64AN=24AB,$$

$$8AN=3AB,$$

$$\frac{AN}{AB}=\frac{3}{8}.$$

Подставим это в формулу

$$AB=\frac{40\cdot AN}{x}.$$

Так как $$AN=\frac{3}{8}AB$$, то

$$AB=\frac{40\cdot \frac{3}{8}AB}{x},$$

$$x=15.$$

Следовательно,

$$MN=15\text{ см},$$

$$MP=\frac{9}{5}\cdot 15=27\text{ см}.$$

Ответ

$$MN=15\text{ см},\ MP=27\text{ см}.$$