Упр.483 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 483. В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне АС, а две другие — сторонам АВ и ВС соответственно. Найдите сторону квадрата, если АС = а, а высота, проведённая к стороне АС, равна h.

Подробный ответ

Обозначим сторону квадрата через $$x$$.

Пусть $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения сторон квадрата с основанием $$AC$$, а $$H$$ и $$G$$ — его верхние вершины. Тогда $$EHGF$$ — квадрат, значит $$HG \parallel AC$$ и $$EH \perp AC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEH$$ и $$\triangle ADB$$. У них

$$\angle HAE=\angle BAD,$$

$$\angle AEH=\angle ADB=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AEH \sim \triangle ADB$$, откуда

$$\frac{HE}{BD}=\frac{AH}{AB}.$$

Так как $$BD=h$$, то

$$HE=\frac{h\cdot AH}{AB}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle HBG$$ и $$\triangle ABC$$. Так как $$HG \parallel AC$$, то

$$\angle CAB=\angle GHB,$$

$$\angle ABC=\angle HBG.$$

Значит, $$\triangle HBG \sim \triangle ABC$$, и потому

$$\frac{HG}{AC}=\frac{HB}{AB}.$$