Упр.482 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В окружности, радиус которой равен $$8\ \text{см}$$, проведена хорда $$AB$$. На прямой $$AB$$ вне отрезка $$AB$$ отметили точку $$C$$ такую, что $$AC:BC=1:4$$. Найдите расстояние от точки $$C$$ до центра окружности, если $$AB=9\ \text{см}$$.

Пусть $$AC=x$$, тогда $$BC=4x$$. Так как $$AB=9\text{ см}$$, получаем:

$$AC+BC=x+4x=9,$$

$$5x=9,$$

$$x=\frac{9}{5}.$$

Значит,

$$AC=\frac{9}{5}, \qquad BC=\frac{36}{5}.$$

Проведём через точку $$C$$ секущую, пересекающую окружность в точках $$A$$ и $$B$$. По теореме о степени точки:

$$CA\cdot CB=CO^2-R^2.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{9}{5}\cdot \frac{36}{5}=OC^2-8^2,$$

$$\frac{324}{25}=OC^2-64,$$

$$OC^2=64+\frac{324}{25}=\frac{1924}{25}.$$

Тогда

$$OC=\sqrt{\frac{1924}{25}}=\frac{\sqrt{1924}}{5}=\frac{2\sqrt{481}}{5}\text{ см}.$$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{481}}{5}\text{ см}$$