Упр.481 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1) Докажите, что AB • AC = AD • AE.
2) Найдите отрезок АЕ, если АВ = 18 см, ВС = 12 см и AD : DE = 5 : 7.

1) Проведём через точку $$A$$ касательную $$AN$$ к окружности. Тогда по теореме о степени точки:

$$AN^2=AB\cdot AC$$

и одновременно

$$AN^2=AD\cdot AE.$$

Следовательно,

$$AB\cdot AC=AD\cdot AE.$$

2) Найдём $$AE$$. Так как $$AB=18$$ см, $$BC=12$$ см, то

$$AC=AB+BC=18+12=30$$

Пусть $$AD:DE=5:7$$, тогда

$$AD=\frac{5}{7}DE,\qquad AE=AD+DE=\frac{5}{7}DE+DE=\frac{12}{7}DE.$$

Подставим в равенство $$AB\cdot AC=AD\cdot AE$$:

$$18\cdot 30=\frac{5}{7}DE\cdot \frac{12}{7}DE$$

$$540=\frac{60}{49}DE^2$$

$$DE^2=540\cdot \frac{49}{60}=441$$

$$DE=21$$

Тогда

$$AE=\frac{12}{7}\cdot 21=36$$

Ответ

$$AB\cdot AC=AD\cdot AE,$$ $$AE=36\text{ см}.$$