Упр.480 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Через точку $$A$$, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке $$B$$, а другая пересекает окружность в точках $$C$$ и $$D$$ (точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$D$$), $$AB=18\text{ см}$$, $$AC:CD=4:5$$. Найдите отрезок $$AD$$.

Обозначим $$AC=x$$. Тогда по условию $$AC:CD=4:5$$, значит $$CD=\frac{5}{4}x$$.

Тогда

$$AD=AC+CD=x+\frac{5}{4}x=\frac{9}{4}x.$$

Так как $$AB$$ — касательная, а $$ACD$$ — секущая, то по теореме о касательной и секущей:

$$AB^2=AC\cdot AD.$$

Подставим известные значения:

$$18^2=x\cdot \frac{9}{4}x,$$

$$324=\frac{9}{4}x^2,$$

$$x^2=324\cdot \frac{4}{9}=144,$$

$$x=12.$$

Теперь найдём $$AD$$:

$$AD=\frac{9}{4}\cdot 12=27.$$

Ответ

$$27\text{ см}$$