Упр.478 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Хорда $$МК$$ окружности делится точкой $$Р$$ на два отрезка длиной $$8$$ см и $$12$$ см. Найдите расстояние от точки $$Р$$ до центра окружности, если её радиус равен $$11$$ см.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Проведём через точку $$P$$ диаметр, перпендикулярный хорде $$MK$$, и пусть он пересекает окружность в точках $$E$$ и $$F$$. Тогда по свойству хорды, делящейся перпендикуляром пополам, точка $$P$$ лежит на этом диаметре, а для отрезков получаем:

$$EP=OE-OP=11-OP,$$

$$FP=OF+OP=11+OP.$$

По теореме о пересекающихся хордах:

$$EP\cdot FP=MP\cdot PK.$$

Подставим данные:

$$(11-OP)(11+OP)=8\cdot 12$$

$$121-OP^2=96$$

$$OP^2=25$$

$$OP=5$$

Так как расстояние не может быть отрицательным, получаем $$OP=5$$ см.

Ответ

$$5\text{ см}$$