Упр.478 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 478. Хорда МК окружности делится точкой Р на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки Р до центра окружности, если её радиус равен 11 см.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O$$. Проведём через точку $$P$$ диаметр, перпендикулярный хорде $$MK$$, и пусть он пересекает окружность в точках $$E$$ и $$F$$. Тогда по свойству хорды, делящейся перпендикуляром пополам, точка $$P$$ лежит на этом диаметре, а для отрезков получаем:

$$EP=OE-OP=11-OP,$$

$$FP=OF+OP=11+OP.$$

По теореме о пересекающихся хордах:

$$EP\cdot FP=MP\cdot PK.$$

Подставим данные:

$$ (11-OP)(11+OP)=8\cdot 12 $$

$$ 121-OP^2=96 $$

$$ OP^2=25 $$

$$ OP=5 $$

Так как расстояние не может быть отрицательным, получаем $$OP=5$$ см.