Упр.47 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$. Определите вид треугольника $$ABM$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, поэтому

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Сумма всех углов параллелограмма равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ,$$

$$\angle A+\angle B+\angle A+\angle B=360^\circ,$$

$$2\angle A+2\angle B=360^\circ,$$

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$AM$$ и $$BM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, то

$$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABM=\frac{1}{2}\angle B.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$:

$$\angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B+\angle AMB=180^\circ,$$

$$\frac{\angle A+\angle B}{2}+\angle AMB=180^\circ,$$

$$\frac{180^\circ}{2}+\angle AMB=180^\circ,$$

$$90^\circ+\angle AMB=180^\circ,$$

$$\angle AMB=90^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ABM$$ прямоугольный.

Ответ

$$\triangle ABM$$ — прямоугольный.