Упр.469 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 469. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет — 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$FEC$$.

Так как $$AE=CE$$, то точка $$E$$ — середина гипотенузы $$AC$$, значит

$$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 20=10$$.

Кроме того, $$\angle ABC=90^\circ$$ и $$EF\perp AC$$, поэтому $$\angle FEC=90^\circ$$. Угол $$\angle ACB$$ общий для треугольников $$ABC$$ и $$FEC$$, следовательно,

$$\triangle ABC \sim \triangle FEC$$

по первому признаку подобия.

Из подобия получаем:

$$\frac{FC}{AC}=\frac{CE}{BC}$$

Тогда

$$FC=\frac{AC\cdot CE}{BC}=\frac{20\cdot 10}{16}=12{,}5$$

Теперь найдём второй отрезок:

$$BF=BC-FC=16-12{,}5=3{,}5$$