Упр.466 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 466. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$. По условию они подобны, значит

$$\angle A=\angle A_1.$$

Пусть $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — высоты этих треугольников, то есть

$$BD\perp AC,\qquad B_1D_1\perp A_1C_1.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$.

Имеем:

$$\angle BAD=\angle B_1A_1D_1,$$

так как $$\angle BAD=\angle A$$, а $$\angle B_1A_1D_1=\angle A_1$$;

$$\angle ADB=\angle A_1D_1B_1=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABD\sim \triangle A_1B_1D_1$$ по двум углам.

Из подобия этих треугольников получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}.$$