Упр.465 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 465. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$. По условию они подобны, значит

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1.$$

Пусть $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы углов $$\angle B$$ и $$\angle B_1$$ соответственно. Тогда

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B,\qquad \angle A_1B_1D_1=\frac{1}{2}\angle B_1.$$

Так как $$\angle B=\angle B_1$$, то

$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1.$$

Кроме того, точки $$D$$ и $$D_1$$ лежат на сторонах $$AC$$ и $$A_1C_1$$, поэтому

$$\angle BAD=\angle BAC=\angle A=\angle A_1=\angle B_1A_1D_1.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$ подобны по двум углам.

Из подобия получаем пропорцию соответствующих сторон:

$$\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}.$$